旧文(四)执着的信念 成稿于20120403

高中的时候听过一个老师说泛函是很难的,他补考了N多次最后靠默写书上定理才过了,整本书从第一页就不理解,什么距离啊都奇奇怪怪的。三年级的时候,发奋好好自学数学,在基础很差(只会微积分和高代)的情况下想要去啃掉张恭庆老爷子的书。首先去看周民强老爷子的实变,整本书是用分析的语言写的,没有涉及到哪怕一点的代数,导致了整本书非常的容易理解(至少比Rudin的那本要好念很多)。扫下来一遍感觉甚是开心,于是在两个月内在没有任何人指导的情况下狠狠地看了很多遍,每一次读的时候都发现前一遍读的是多么的不认真。实变函数的中心话题就是Lebesgue测度与积分。说实话第一遍念的时候完全没有意识到三大定理(Levi渐升定理,Fatou引理,控制收敛定理)的重要性,就是觉得测度挺好玩的。后来一点点接触随机过程的时候发现这样教的实变函数有致命的缺陷,缺少了代数上的东西,整个实变里的测度论像是建立在空中阁楼之上,于是乎后来接触到了用半集代数扩张到集代数再扩张到西格玛代数上的测度扩张定理后,才意识到周民强的书确实很美,但仅仅如空中阁楼般只是看着很美。

有了一些实变和复变的基础后,着手去看泛函。没有任何人指导,自己去看张老师的书是非常艰难的,尤其是当我的实变也是自学来的时候。第一章的内容已经搞得我浑浑噩噩,我完全没有搞清楚Frechet空间和Banach空间的区别。第二章的Hahn-Banach Extension Theorem更是看的我云里雾里,根本就不知道在讲什么东西。于是我秉承了我学习不懂先记住再看下去的传统,继续看到了线性算子的谱,广义函数和Sobolev空间。很遗憾我觉得我很有必要从第一章开始重新看,认认真真的把各种不动点定理和最简单的完备化空间想清楚,每一个证明要好好研究,绝对不能不懂再跳过去。当第二遍学习的时候我把证明都搞懂的时候,我前进到了广义函数与Sobolev空间,屋子里有EE的同学,当然对于Dirac函数是不会陌生的,但是他们对于广义函数当然是陌生的。当我前进到紧算子的时候,我才慢慢的意识到泛函究竟是讲了什么东西。后来我才发现,张老师的讲义内容很丰富但是缺少对于整个泛函的总窥。优点有很多很多,比如说定义了Minkowski泛函,进而漂亮地用Minkowski泛函实现了Hahn-Banach的几何形式也就是凸集分离定理。当我惊喜地发现这个强大的定理应用出最优化问题的KKT Theorem的时候,我意识到保范延拓是多么的重要。在第一章的时候我看到不动点理论的时候,也感叹为什么不动点理论为什么可以这么巧妙的运用到常微分方程初值问题的解和隐函数存在定理上。当我学了很多遍泛函的时候,我才意识到正是因为这些问题,人们才会去研究一般的算子方程,去研究一般的不仅仅是数域上的映射,更有冲动去研究无限维空间上的问题了。也就是说,这是一门研究最一般的映射的科学,也可以说是从随机过程,微分方程,最优化理论与量子力学里应运而生的年轻的学科。泛函分析的三大中心定理:Hahn-Banach定理,开映像定理,共鸣定理为许许多多的实际问题带来了威力强大宝剑,彻彻底底地解决了很多实在的问题。也就是说它是从现实中抽象出来,再从抽象回到了现实。用最一般的理论去解决最现实的困难。正如张老师所言,如果只是从概念到概念,纯形式地理解抽象定理证明的推演,那么学习泛函分析的结果只能“如入宝山而空近”,一无所获。

也许我真的还需要学很多,我知道泛函的下半场是主要是讲无界算子,Banach代数和算子半群的。其中的Stone定理不仅给出了薛定谔方程的解,也是Markov过程不可缺少的有力工具。但是限于精力和能力,我觉得应该放一放,否则就如一位豆瓣网友所言,好书读完了就没有了。

其实很多美国人的学术也是在混,中国人则绝大部分在混。骗科研经费者天下皆是矣。我现在改变了不少对于苏联人的认识,尤其是当我入手了施利亚耶夫的随机金融基础后,发现这位Kolmogorov的嫡传弟子居然能在60多岁的时候开始研究金融市场,还写出了这本与美国人金融不同taste的书时,我意识到计划经济并不是一无是处的。在一个市场约束的地方,也许那种顽强的毅力不复存在,人性中的另外一面也会被市场所泯灭。并不是说人的魔鬼性是完全不好的,没有魔鬼的一面,我们也许无法看见一个一天工作19小时P.Erdos,也无法看见计划经济下苏联工业的成就。在美国人的眼中,书是写的越烦越简单越好。但是我以为,一本好书是给读者留余地的书,尤其是对于“聪明”的读者而言。

当我发现诸如交大吴冲锋之流可以拿着他的三脚猫功夫纸上谈兵称霸上海时,我是多么的希望在我的身边不仅仅要有这些人,更要有一个个章璞老师或者Sheldon式的人物,富有激情,专心,有着执着的信念。

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One thought on “旧文(四)执着的信念 成稿于20120403

  1. Hi, thanks for sharing this essay.
    Could I take the opportunity to ask one question: Learning the real analysis, is it necessary or only helpful to learn probability theory (advanced level)?

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